TRILINEAR COMPENSATED COMPACTNESS AND BURNETT'S CONJECTURE IN GENERAL RELATIVITY

Cécile Huneau (1) , Jonathan Luk (2)

1 CMLS - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
2 Stanford University

Consider a sequence of C 4 Lorentzian metrics {hn} +∞ n=1 on a manifold M satisfying the Einstein vacuum equation Ric(hn) = 0. Suppose there exists a smooth Lorentzian metric h 0 on M such that hn → h 0 uniformly on compact sets. Assume also that on any compact set K ⊂ M, there is a decreasing sequence of positive numbers λn → 0 such that ∂ α (hn − h 0) L ∞ (K) λ 1−|α| n , |α| ≥ 4. It is well-known that h 0 , which represents a "high-frequency limit", is not necessarily a solution to the Einstein vacuum equation. Nevertheless, Burnett conjectured that h 0 must be isometric to a solution to the Einstein-massless Vlasov system. In this paper, we prove Burnett's conjecture assuming that {hn} +∞ n=1 and h 0 in addition admit a U(1) symmetry and obey an elliptic gauge condition. The proof uses microlocal defect measures-we identify an appropriately defined microlocal defect measure to be the Vlasov measure of the limit spacetime. In order to show that this measure indeed obeys the Vlasov equation, we need some special cancellations which rely on the precise structure of the Einstein equations. These cancellations are related to a new "trilinear compensated compactness" phenomenon for solutions to (semilinear) elliptic and (quasilinear) hyperbolic equations.

Dans cet article, nous considérons une suite de métriques lorentziennes {hn} +∞ n=1 , de classe C 4 , satisfaisant leséquations d'Einstein dans le vide Ric(hn) = 0. Nous supposons qu'il existe une métrique Lorentzienne h 0 sur M, de classe C ∞ , telle que hn → h 0 uniformément sur tout compact. Nous supposons aussi que sur un compact K ⊂ M il existe une suite de nombre positifs λn → 0 tels que ∂ α (hn − h 0) L ∞ (K) λ 1−|α| n , |α| ≥ 4. Il est bien connu que h 0 , qui représente une "limite haute-fréquence", n'est pas forcément solution deś equations d'Einstein dans le vide. Cependant, il aété conjecturé par Burnett que h 0 devaitêtre isométriquè a une solution deséquations d'Einstein coupléesà un champ de Vlasov sans masse. Dans cet article, nous prouvons la conjecture de Burnett en supposant que {hn} +∞ n=1 et h 0 admettent en plus une symétrie U(1) et satisfont une condition de jauge elliptique. La preuve utilise les mesures de défaut microlocales-on identifie une mesure de défaut microlocale définie de manière ad hoc commé etant la mesure de Vlasov dans l'espace-temps limite. Afin de montrer que cette mesure satisfait bien leś equations de Vlasov, nous avons besoin d'annulations particulières qui reposent sur la structure précise deś equations d'Einstein. Ces annulations sont liées un nouveau phénomène de "compacité par compensation trilinéaire" pour des solutions d'un système couplant deséquations elliptiques semilinéairesà deséquations hyperboliques quasilinéaires.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Cécile Huneau, Jonathan Luk. TRILINEAR COMPENSATED COMPACTNESS AND BURNETT'S CONJECTURE IN GENERAL RELATIVITY. 2019. ⟨hal-02363016⟩