Path dependent partial differential equation: theory and applications

Résumé : Dans les travaux précédents, Ekren, Keller, Touzi & Zhang [35] et Ekren, Touzi & Zhang [37, 38], les auteurs ont introduit une notion de solutions de viscosité des EDPs dépendantes de la trajectoire (EDP-P) et ils ont montré des résultats d’unicité et d’existence par un argument appelé ‘trajectoire gelée’. Les solutions de viscosité des EDP-Ps généralisent les solutions de viscosité des EDPs, en particu- lier, elles peuvent être utilisées pour caractériser les fonctions valeur des problèmes de contrôle stochastique non-markovien. Dans cette thèse, nous présentons le dé- veloppement récent de la nouvelle théorie. Au cas des EDP-Ps semi-linéaires, nous améliorons l’argument pour le résultat de la comparaison et nous proposons une méthode de Perron pour prouver l’existence de solution de viscosité. En outre, comme dans le travail de Barles et Souganidis [4] dans le contexte d’EDP, nous montrons qu’une famille de schémas numériques satisfaisant les conditions de mo- notonie fournit les solutions numériques convergeant vers les solutions de viscosité des EDP-P’s. De plus, nous essayons de développer la notion des EDP-Ps elliptiques et nous arrivons à montrer les résultats d’unicité et d’existence en suivant les ar- guments dans [38]. Cette thèse contient aussi certaines applications intéressantes des EDP-Ps. L’une des application concerne les grandes déviations des diffusions non-markoviennes. Comme Fleming a utilisé la stabilité des solutions de viscosité des EDPs pour montrer le principe de grandes déviations dans le cas markovien (voir [51]), nous utilisons les équations différentielles stochastiques rétrogrades et les EDP-Ps pour généraliser son résultat au cas non-markovien. En plus, on ap- plique ce résultat de grandes déviations à l’étude du comportement asymptotique de la surface de volatilité implicite en mathématiques financières. Enfin, nous pré- sentons un algorithme dual pour des problèmes de contrôle stochastique. Lorsque les simulations de Monte Carlo des problèmes de contrôle stochastique fournissent des estimations biaisées inférieurement, l’algorithme dual donne des bornes supé- rieures des fonctions valeur. L’idée de ‘trajectoire gelée’ est utilisée pour donner des représentations duales des problèmes de contrôle stochastique non-markovien.
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Thèse
Analysis of PDEs [math.AP]. Ecole Doctorale Polytechnique, 2015. English
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Contributeur : Zhenjie Ren <>
Soumis le : lundi 1 février 2016 - 10:40:07
Dernière modification le : jeudi 12 avril 2018 - 01:49:46
Document(s) archivé(s) le : vendredi 11 novembre 2016 - 23:21:56

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Zhenjie Ren. Path dependent partial differential equation: theory and applications. Analysis of PDEs [math.AP]. Ecole Doctorale Polytechnique, 2015. English. 〈tel-01265462〉

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